Un número es un concepto abstracto que se emplea para contar (cantidades), medir (magnitudes) y etiquetar. Los números más sencillos, que utilizamos todos en la vida cotidiana, son los números naturales: 1, 2, 3, etc. Se denotan mediante  y sirven también como ordinales, para establecer un orden (primero, segundo,). En ocasiones usamos el término número para hablar de lo que en realidad es un numeral o cifra (por ejemplo, nuestros números arábigos). Desde un punto de vista totalmente general un número es cualquier elemento de una estructura lógico-matemática conocida como sistema numérico.

Los números desempeñan un papel fundamental en las ciencias empíricas; no solo los naturales, sino muchos otros tipos de números que contemplan las matemáticas. El conjunto de números enteros (representados por ${\displaystyle \mathbb{�}}$) es una ampliación de los naturales, incluyendo los negativos (que utilizamos para representar deudas, y en los termómetros para las temperaturas bajo cero). Si incluimos los números fraccionarios (1/3, 0,75, -3,25, etc.) se obtiene el conjunto de los números racionales, cuyo símbolo es ${\displaystyle \mathbb{�}}$. Ya en la Antigüedad se descubrió que existen números no racionales: la diagonal de un cuadrado de lado 1 mide raíz de 2, un número que no puede representarse como número entero ni como fracción; es irracional. Los racionales junto con los irracionales forman el conjunto de los números reales, (ℝ). Posteriormente, se han ido agregando otros tipos de números: imaginarios, trascendentes, irreales, complejos...

Nótese que la teoría de números es una rama de las matemáticas que se ocupa de los enteros (no de números en general).

Tipos de números.

Clasificación de los números.

Los números más conocidos son los números naturales. Denotados mediante ${\displaystyle \mathbb{�}}$, son conceptualmente los más simples y los que se usan para contar unidades discretas. Estos, conjuntamente con los números «negativos», conforman el conjunto de los enteros, denotados mediante ${\displaystyle \mathbb{�}}$ (del alemán Zahlen, ‘números’). Los números naturales negativos permiten representar formalmente deudas, y generalizar la resta de cualesquiera dos números naturales. Es decir, ya tenemos solución para operaciones como, por ejemplo, 3-2 = 1.

Otro tipo de números ampliamente usados son números fraccionarios, los cuales representan tanto cantidades inferiores a una unidad, como números mixtos (un conjunto de unidades más una parte inferior a la unidad). Los números fraccionarios pueden ser expresados siempre como cocientes de enteros. El conjunto de todos los números fraccionarios es el conjunto de los números racionales (que usualmente se define para que incluya tanto a los racionales positivos, como a los racionales negativos y el cero). Este conjunto de números se designa como ${\displaystyle \mathbb{�}}$. Al igual que con los números enteros se puede calcular el resultado de cualquier resta, con los racionales es posible efectuar divisiones que no tienen resultado entero, como 15/2 = 7,5 o 7½.

Los números racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos, pero desde los antiguos griegos se conoce que ciertas relaciones geométricas (la diagonal de un cuadrado de lado unidad) son números no enteros que tampoco son racionales. Igualmente, la solución numérica de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales, usualmente es un número no racional. Puede demostrarse que cualquier número irracional puede representarse como una sucesión de Cauchy de números racionales que se aproximan a un límite numérico. El conjunto de todos los números racionales y los irracionales (obtenidos como límites de sucesiones de Cauchy de números racionales) es el conjunto de los números reales ${\displaystyle \mathbb{�}}$. Durante un tiempo se pensó que toda magnitud física existente podía ser expresada en términos de números reales exclusivamente. Entre los reales, existen números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica, y estos reciben el nombre de transcendentales. Los más conocidos de estos números son el número π (Pi) y el número e (este último base de los logaritmos naturales), los cuales están relacionados entre sí por la identidad de Euler.

Uno de los problemas de los números reales es que no forman un cuerpo algebraicamente cerrado, por lo que ciertos problemas no tienen solución planteados en términos de números reales. Esa es una de las razones por las cuales se introdujeron los números complejos ${\displaystyle \mathbb{�}}$, que son el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a los números reales. Además, en algunas aplicaciones prácticas, así como en las formulaciones estándar de la mecánica cuántica se considera útil introducir los números complejos. Al parecer, la estructura matemática de los números complejos refleja estructuras existentes en problemas físicos, por lo que en física teórica y en diversas aplicaciones los números complejos se usan en pie de igualdad con los números reales, a pesar de que inicialmente fueron considerados únicamente como un artificio matemático sin relación con la realidad física. Todos los conjuntos de números ${\displaystyle \mathbb{�},\mathbb{�},\mathbb{�},\mathbb{�},\mathbb{�}}$ fueron de alguna manera «descubiertos» o sugeridos en conexión con problemas planteados en problemas físicos o en el seno de la matemática elemental y todos ellos parecen tener importantes conexiones con la realidad física.

Al margen de los números reales y complejos, claramente conectados con problemas de las ciencias naturales, existen otros tipos de números que generalizan aún más y extienden el concepto de número de una manera más abstracta y responden más a creaciones deliberadas de matemáticos. La mayoría de estas generalizaciones del concepto de número se usan solo en matemáticas, aunque algunos de ellos han encontrado aplicaciones para resolver ciertos problemas físicos. Entre ellos están los números hipercomplejos, que incluyen a los cuaterniones, útiles para representar rotaciones en un espacio de tres dimensiones, y generalizaciones de estos, como octoniones y los sedeniones.

A un nivel un poco más abstracto también se han ideado conjuntos de números capaces de tratar con cantidades infinitas e infinitesimales, como los hiperreales ${\displaystyle {}^{\ast }\mathbb{�}}$ y los transfinitos. E igualmente los números racionales pueden extenderse de otras maneras, como por ejempló para formar los números p-ádicos, entre los cuales se encuentran los enteros p-ádicos ${\displaystyle {\mathbb{�}}_{�}}$, los racionales p-ádicos ${\displaystyle {\mathbb{�}}_{�}}$ o los complejos p-ádicos ${\displaystyle \mathrm{\Omega }={\mathbb{�}}_{�}}$, que satisfacen ${\displaystyle {\mathbb{�}}_{�}\subset {\mathbb{�}}_{�}\subset {\mathbb{�}}_{�}}$.

Lista de los tipos de números existentes.

La teoría de los números trata básicamente de las propiedades de los números naturales y los enteros, mientras que las operaciones del álgebra y el cálculo permiten definir la mayor parte de los sistemas numéricos, entre los cuales están:

• Números naturales
  • Número primo
  • Números compuestos
  • Números perfectos
• Números enteros
  • Números negativos
  • Números pares
  • Números impares
• Números racionales
• Números reales
  • Números irracionales
  • Números algebraicos
  • Números trascendentes
• Extensiones de los números reales
  • Números complejos
  • Números hipercomplejos
    • Cuaterniones
    • Octoniones
  • Números hiperreales
  • Números superreales
  • Números surreales
• Números usados en teoría de conjuntos
• Números ordinales
• Números cardinales
• Números transfinitos

Estructura de los sistemas numéricos.

En álgebra abstracta y análisis matemático un sistema numérico se caracteriza por una:

• Estructura algebraica, usualmente un anillo conmutativo o cuerpo matemático (en el caso no conmutativo son un álgebra sobre un cuerpo y en el caso de los números naturales solo un monoide conmutativo).
• Estructura de orden, usualmente un conjunto ordenado, en el caso de los números naturales, enteros, racionales y reales se trata de conjuntos totalmente ordenados, aunque los números complejos e hipercomplejos solo son conjuntos parcialmente ordenados. Los reales además son un conjunto bien ordenado y con un orden denso.¹​
• Estructura topológica, los conjuntos numéricos numerables usualmente son conjuntos disco nexos, sobre los que se considera la topología discreta, mientras que sobre los conjuntos no numerables se considera una topología que los hace adecuados para el análisis matemático.

Otra propiedad interesante de muchos conjuntos numéricos es que son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Ven, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Ven con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta). Tanto históricamente como conceptualmente, los diversos conjuntos numéricos, desde el más simple de los números naturales, hasta extensiones transcendentes de los números reales y complejos, elaboradas mediante la teoría de modelos durante el siglo xx, se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.